"Transformaciones lineales"

Informe de Transformaciones Lineales 

Wilton Mosquera Cucalon

Gonzalo Andrés Buitrago Restrepo

    

Octubre - 2022

1. Qué es una tranformación lineal

R// Una transformación lineal es una función que transforma elementos de un espacio vectorial (V)  en elementos de un espacio vectorial (W). Esta se suele usar para representar ecuaciones.

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

R// Las condiciones es que para que exista una transformación lineal se debe de cumplir lo siguiente.

1.) F (V + W) = F(V) + F(W)

2.) F(KV)  =  KF(V)

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Ejm:   T : R2 ---->   R2

                                    T (X,Y) = (X, 0.5Y, Y)

V = (X1,Y1)    W = (X2,Y2)   E (pertenece)   R2

Debemos de comprobar la superposición:  T(V + W) = T(V) + T(W)

Lado izquierdo de la ecuación 

T(V + W) =  T{(X1 + Y1) + (X2 + Y2)}

                =  T(X1 + X2, Y1 + Y2)

                =  {(X1 + X2) + 0.5(Y1 + Y2) , Y1 + Y2 }

Lado derecho de la ecuación

T(V) + T(W)  =  T (X1, X2) + T(X2, Y2)

                        = (X1 + 0.5Y1, Y1) + (X2 + 0.5Y2, Y2)}

                        = {(X1 + X2) + 0.5(Y1 + Y2) ,  Y1 + Y2}

Comprobar la homogeneidad: F(KV)  =  KF(V)

Lado izquierdo de la ecuación.

F(KV)  =  F {K(X1 , Y1)}

            =  F (KX1 , KY1)

            =  F (KX1 + 0.5KY1, KY1)

Lado derecho de la ecuación.

KF(V)  =  K F (X1, Y1)

            = K (X1 + 0.5Y1, Y1)

            = {K(X1 + 0.5Y1), KY1}

            =(KX1 + 0.5KY1, KY1)

5.) Cómo probar esa transformación lineal.

Lado derecho de la ecuación en la superposición.             Lado izquierdo de la ecuación    

  {(X1 + X2) + 0.5(Y1 + Y2) ,  Y1 + Y2}                  =                         {(X1 + X2) + 0.5(Y1 + Y2) , Y1 + Y2 }  

Lado izquierdo de la ecuación en la homogeneidad.           Lado derecho de la ecuación.

 F (KX1 + 0.5KY1, KY1)                         =                             (KX1 + 0.5KY1, KY1)

R// Ya que se cumple la superposición y la homogeneidad se puede decir que la transformación T en lineal.